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M. Grecher:
"Methoden zur Knotenschätzung von B-Spline-Kurven für die Modellierung profilhafter Laserscanndaten";
Supervisor: H.-B. Neuner, C. Schmitt; E120-5 Ingenieurgeodäsie, 2016; final examination: 2016-09-15.

As a result of the increase of areal measurement techniques, an accurate approximation of large point clouds for future applications is necessary. This is particularly true in the engineering geodesy. Suitable for this purpose are B-spline curves and B-spline surfaces, which provide with a suitable choice of the parameters a good fit to local features of the terrain. The adaptability of B-splines is essentially depending on two parameter sets, namely the control points and the knots. The simultaneous estimation of these parameters results in a highly non-linear system of equations. Therefore, in most applications, the knots are determined first. Subsequently the control points are estimated by solving a linear system of equations. The number of knots and their distribution of these in the parameter space have a significant impact on the quality of the approximation result.
At the beginning of the first part of this work, an introduction to the B-spline approximation and the data set used in the present work is given. Then three different methods for finding appropriate knot positions are analyzed and the corresponding results are presented. To evaluate these methods four point sets have been constructed from a given B-spline curve. Since the parameters, i.e. the control points and knots, of these approximations are known, the advantages and disadvantages of each method in identifying appropriate knots can be quantified. The evaluation process shows that the method which mimics a part of the natural immune system and is based on the clonal selection theory is superior among the methods considered here.
In the second part of this work different information criteria (AIC, BIC) are used in order to evaluate if it is possible to estimate the number of knots required to obtain a sufficiently accurate approximation result. It turns out that the best results are achieved with the combination of clonal selection algorithm and the bayesian information criterion BIC. Finally, all findings are validated against the results obtained from a realistic data set.
















ii

Durch die Zunahme von flächenhaften Messtechniken ist besonders in der Ingenieurgeodäsie eine genaue Approximation von großen Punktwolken für spätere Anwendungszwecke notwendig. Hierfür bieten sich im Speziellen B-Spline Kurven bzw. B- Spline Flächen an, welche sich bei einer geeigneten Parameterwahl an lokale Gegebenheiten geometrisch bestmöglich anpassen können. Das Anpassungsvermögen von B-Splines ist dabei im Wesentlichen von zwei Parametersätzen, den Kontrollpunkten und den Knoten, abhängig. Das gleichzeitige Schätzen dieser Parameter führt zu einem hochgradig nichtlinearen Gleichungssystem. Deshalb werden typischerweise die Kontrollpunkte in einem linearen Ausgleichungsmodell geschätzt, nachdem zuvor die Knoten bestimmt wurden. Vor allem die Anzahl an Knoten als auch die Verteilung dieser im Parameterraum hat einen großen Einfluss auf das Approximationsergebnis.
Im ersten Teil dieser Arbeit werden deshalb, neben einem Grundlagenkapitel zu B-Splines und vorstellen der benutzten Daten, insgesamt drei unterschiedliche Methoden für das Auffinden geeigneter Knotenpositionen untersucht und die erzielten Ergebnisse präsentiert. Zur Evaluierung der Methoden stehen vier, aus B-Spline Kurven, extrahierte Punktmengen zur Verfügung, bei denen die Parameter (Kontrollpunkte und Knoten) bekannt sind. Die Vorteile und Nachteile der einzelnen Methoden bei der Knotenauffindung können somit durch das Vorhandensein einer Soll-Form und den bekannten Parametern aufgezeigt werden. Am Schluss dieses Evaluierungsprozesses zeigt sich eine klare Präferenz für jene Methode, welche einen Teil des natürlichen Immunsystems nachahmt und sich auf die Clonal Selection Theorie stützt.
Im zweiten Teil der Arbeit wird untersucht, ob mit Hilfe von unterschiedlichen Informationskriterien (AIC, BIC) die Anzahl an Knoten und somit die benötigte Anzahl an Parametern für ein zufriedenstellendes Approximationsergebnis bestimmt werden können. Es stellt sich heraus, dass mit der Kombination aus Clonal Selection Algorithmus und dem Bayesianischen Informationskriterium BIC die besten Ergebnisse erzielt werden. Alle gewonnen Erkenntnisse werden schlussendlich ebenfalls an realen Daten erprobt.

B-Spline, Knots, Clonal Selection, Information Criterion