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C. Schmitt, H.-B. Neuner:
"Knot optimization for B-spline curve approximation";
Talk: FIG Working Week 2015, Sofia, Bulgarien (invited); 2015-05-17 - 2015-05-21; in: "FIG Working Week 2015", (2015).

Freeform curves with their possibility to approximate shapes from terrestrial laser scanner point clouds are investigated in this study.
We focus on B-spline curves which are able to capture the local behavior of the measured profile. Typically, the only parameter set, treated as unknowns are the control points of the B-Spline. Their location is determined by least squares adjustment. The second parameter set, the knots, which are part of the basis functions derived from the Bernstein polynomials, are placed at stable locations. The approach with fixed knots leads to a linear system, but it intuitively restricts the B-Spline curve in its flexibility. Nevertheless the residuals of the approximation may still contain systematic effects. Estimating the control points and the locations of the knots at the same time succeeds in full flexibility of B-Splines and optimizes the approximation. The accrued system of equations is highly non-linear. To enhance the convergent behavior, constraints and adequate starting values are necessary. The arbitrary values for the knots are chosen with a new bottom up method, starting with the minimum number of knots and adding one knot in each iteration step at a particular curve sections (span) until the convergent criterion is reached. The decision to insert a knot and at a specific location, is based on the analysis of the residuals in each span.

The improvements are shown by comparing the results obtained in the linear approach with fixed knots and the non-linear case where control points and the knots are treated as unknowns.

Freiformkurven können zur Approximation von Punktwolken von terrestrischen Laserscannern genutzt werden.
Im Speziellen werden in dieser Untersuchung B-Spline Kurven eingesetzt, die je nach Parameterwahl lokale Gegebenheiten in einer globalen Approximation darstellen können. Typischerweise werden bei einer Approximation von B-Splines die Kontrollpunkte in einem linearen Modell geschätzt. Ein weiterer Parametersatz sind die Knoten, mithilfe derer die Basisfunktionen erstellt werden. Die gemeinsame Schätzung der Knoten mit den Kontrollpunkten ergibt ein hochgradig nichtlineares Gleichungssystem. Die volle Flexibilität zur lokalen Anpassung wird erst erreicht durch die Schätzung beider Parametergruppen.
Zur Stützung des nichtlinearen Gleichungssystems werden Bedingungsgleichungen eingeführt. Die Näherungswerte für die Knoten werden mit einer neuen Methode ermittelt. Diese basiert auf den Residuen der linearen Schätzung der Kontrollpunkte, die in Teilbereiche, sogenannten Spans, analysiert werden. Begonnen wird die Approximation mit der Minimalkonfiguration, den Bézier-Kurven, innerhalb derer die Knoten festgelegt sind.

Die im neuen Ansatz erzielte Verbesserung wird durch den Vergleich der Ergebnisse aus der Schätzung der Knoten und der Kontrollpunkte demonstriert.

B-Spline Curve, point cloud, shape modelling, freeform curve, TLS profile approximation, free knots